Question

已知二次函数y=-x2+（m-2）x+3（m+1），（1）求证：当m≠-4时，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（

已知二次函数y=-x2+（m-2）x+3（m+1），（1）求证：当m≠-4时，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若这个二次函数的图象如图所示，求m的取值范围；（3）在（2）的情况下，且|OA|?|OB|=6，求点A、B、C三点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵△=（m-2）²-4（-1）?3（m+1）=（m+4）²＞0，
∴抛物线与x轴必有两个交点；

（2）由图象可知，抛物线的对称轴在y轴的左侧，C点在x轴的上方，
所以

? m?2 2×(?1) ＜0 3(m+1)＞0

，
解得-1＜m＜2；

（3）设方程-x²+（m-2）x+3（m+1）=0的两根为x₁、x₂，且x₁＜0，x₂＞0
由图可知|OA|=|x₁|，|OB|=|x₂|，由|OA|?|OB|=6，可知x₁x₂=-6
根据根与系数的关系，可知-3（m+1）=-6，
则m=1，于是二次函数的解析式为y=-x²-x+6，
令y=0，解方程-x²-x+6=0，得x₁=-3，x₂=2，
所以点A的坐标是（-3，0），
点B的坐标是（2，0），
把x=0代入y=-x²-x+6，得y=6，
所以C的坐标是（0，6）．