Question

已知函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）．（I）证明函数f（x）是奇函数；（II）讨论函数f（x）的单调性，并

已知函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）．（I）证明函数f（x）是奇函数；（II）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明；（III）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为32？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

（I）∵f（x）=a^x-a^-x，
∴f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x）
因此，函数f（x）是奇函数；
（II）设x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=ax1?a?x1-（ax2?a?x2）=ax1?ax2+

ax1?ax2

ax1?ax2

=（ax1?ax2）（1+

1

ax1?ax2

）
∵1+

1

ax1?ax2

＞0，当a＞1时ax1?ax2＜0，而0＜a＜1时ax1?ax2＞0
∴当a＞1时f（x₁）-f（x₂）＜0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
当0＜a＜1时f（x₁）-f（x₂）＞0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数
（III）根据（II）的单调性，得
①当a＞1时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=

3

2

即a²-a^-2=

3

2

，解之得a²=2（舍负），所以a=

2

（舍负）
②当0＜a＜1时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（1）=

3

2

即a¹-a^-1=

3

2

，解之得a=2不满足0＜a＜1，舍去
综上所述，可得存在a=

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