Question

已知：函数f(x)＝ax+bx+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=10，f（3）=6．（1）求a、b、c的值及f

已知：函数f(x)＝ax+bx+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=10，f（3）=6．（1）求a、b、c的值及f（x）的解析式；（2）试判断函数f（x）在区间（0，3）上的单调性并证明．

Answer 1

解 （1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即-ax-

b

x

+c=-ax-

b

x

-c，可得c=0，
又f（1）=a+b=10，f(3)＝3a+

b

3

＝6，
联立解得a=1，b=9，∴f(x)＝x+

9

x

；
（2）由（1）知f(x)＝x+

9

x

，f（x）在区间（0，3）上单调递减，证明如下：
任取0＜x₁＜x₂＜3，
则f(x1)?f(x2)＝x1+

9

x1

?x2?

9

x2

＝(x1?x2)+

9(x2?x1)

x1x2

=(x1?x2)

x1x2?9

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜3，∴0＜x₁x₂＜9，即x₁-x₂＜0，x₁x₂-9＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间（0，3）上单调递减．