如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（Ⅰ）证明：D1E⊥A1D；（Ⅱ）当E为A
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（Ⅰ）证明：D1E⊥A1D；（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所...
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（Ⅰ）证明：D1E⊥A1D；（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值；（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为π4．
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以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（Ⅰ）因为
=（1，0，1），
=（1，x，-1）
∴
?
=1+0-1=0，所以D1E⊥A1D；
（Ⅱ）因为E为AB中点，则E（1，1，0），
从而
=（1，1，-1），
=（-1，2，0），
设AC与D1E所成的角为θ
则cosθ＝
＝
＝
…（9分）
（Ⅲ）设平面D1EC的法向量为
=（a，b，c），
∵
=（1，x-2，0），
=（0，2，-1），
=（0，0，1）
由
设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（Ⅰ）因为
| DA1 |
| D1E |
∴
| DA1 |
| D1E |
（Ⅱ）因为E为AB中点，则E（1，1，0），
从而
| D1E |
| AC |
设AC与D1E所成的角为θ
则cosθ＝
|
| ||||
|
|
| |?1+2+0| | ||||
|
| ||
| 15 |
（Ⅲ）设平面D1EC的法向量为
| n |
∵
| CE |
| D1C |
| DD1 |
由
|
