Question

已知双曲线与椭圆 x 2 27 + y 2 36 =1 有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一

已知双曲线与椭圆 x 2 27 + y 2 36 =1 有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程，并求其渐近线方程．

Answer 1

因为椭圆 x 2 27 + y 2 36 =1 的焦点为F 1 （0，-3），F 2 （0，3）， 故可设双曲线方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1(a＞0，b＞0)，且c=3， a 2 + b 2 =9 ． 由题设可知双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，将y=4代入椭圆方程得双曲线与椭圆的交点为 ( 15 ，4)，(- 15 ，4)，因为点( 15 ，4)[或(- 15 ，4)] 在双曲线上，所以有 16 a 2 - 15 b 2 =1 ． 解方程组 a 2 + b 2 =9 16 a 2 - 15 b 2 =1. 得 a 2 =4 b 2 =5. 故所求双曲线的方程为 y 2 4 - x 2 5 =1. 又 a 2 =4， b 2 =5，则a=2，b= 5 ， 所以双曲线的渐近线方程为y=± a b x=± 2 5 5 x.