Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P-CD-B为45°．（1）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P-CD-B为45°．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；（3）设AD=2，CD=22，求点A到平面PEC的距离．

Answer 1

（1）证明：取PC的中点G，连接EG、FG．
∵F是PD的中点，∴FG∥CD且FG=

1

2

CD．而AE∥CD且AE=

1

2

CD，
∴EA∥GF且EA=GF，故四边形EGFA是平行四边形，从而EG∥AF．
又AF?平面PEC，EG?平面PEC，∴AF∥平面PEC．

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影．
又CD⊥AD，∴CD⊥PD，∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角．
∴∠ADP=45°，则AF⊥PD．
又AF⊥CD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD．
由（1），EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，
而EG?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．

（3）解：过F作FH⊥PC交PC于点H，
又平面PEC⊥平面PCD，则FH⊥平面PEC，
∴FH为点F到平面PEC的距离，而AF∥平面PEC，
故FH等于点A到平面PEC的距离．
在△PFH与△PCD中，
∵∠FHP=∠CDP=90°，∠FPC为公共角，
∴△PFH∽△PCD，

FH

CD

=

PF

PC

．
∵AD=2，CD=2

2

，PF=

2

，PC=

CD2+PD2

=4，∴FH=

2

4

?2

2

=1．
∴点A到平面PEC的距离为1．