Question

已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5，（1）对满足-1<a<1的一切a的值，都有g(x)<0,求x的取值范围。

（2）设a=-m2,当m在什么范围内变化时，函数y=（x)的图像与直线y=3只有一个公共点

Answer 1

解：(1)由题意,g(x)=3x2-ax+3a-5.

令φ(a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.

对-1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即有φ(a)＜0.

∴

即

解得-＜x＜1.

故x∈(-,1)时，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0.

(2)f′(x)=3x2-3m2.

①当m=0时，f′(x)=x3-1的图象与直线y=3只有一个公共点；

②当m≠0时，

列表：

x
(-∞,-|m|)
-|m|
(-|m|,|m|)
|m|
(|m|,+∞)

f′(x)
+
0
-
0
+

f(x)
↗
极大
↘
极小
↗

f(x)极小=f(|m|)=-2m2|m|-1＜-1.

又因为f(x)的值域是R，且在(|m|,+∞)上单调递增，所以当x＞|m|时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.

当x＜|m|时，恒有f(x)≤f(-|m|).

由题意得，f(-|m|)＜3,

即2m2|m|-1=2|m|3-1＜3.

解得m∈(-,0)∪(0,).

综上，m的取值范围是(-,).

Answer 2

题干里那是三次方吗？

追问

是的，a是大于或等于-1小于或等于1，第二问也是m的平方，朋友你有在做吗？