Question

“单调有界函数必有极限”这个命题成立吗？同济六版的高数课本只给出了“单调有界数列必有极限”的准则。

我个人的看法是不成立的。函数单调有界并不能保证x趋近某点时函数的极限存在（有可能这点左右极限存在但并不相等）。此问题让我很迷惑，希望能得到权威的解答及证明。非常感谢！

Answer 1

一般来说是不对的，一个单调函数完全可以有间断点，你的分析就很好！但此命题可以改成“单调有界函数在任何一点必有单侧极限”，这样就对了。证明嘛~可以用海涅定理，把函数情形化为数列的情形来证。
特别的，如果考虑在+∞或-∞处的极限，原来的命题也是对的，这时不存在左右极限不等的情形。

追问

谢谢您！

追答

哈不客气

Answer 2

数列的极限，其定义是当n→+∞···通项Xn最后锁定的那个值，这个值可能不会存在···而且，数列的极限无左右极限之分

海涅定理的意思是：如果Xn→A（n→+∞），f（x）→B（x→A），那么f（Xn）→B（n→+∞）
这其中，由于极限｛Xn｝无左右极限之分，所以，讨论f（Xn）的左右极限也就没了意义···

这是我的理解

Answer 3

当然不对。这是对数列而言，对函数不一定正确。

Answer 4

既然单调，说明是对一个区间而言的，所以不会存在你说的那个状况！

追问

单调函数不一定连续吧？！

追答

单调函数必定连续。
因为单调性的前提是说在某个区间内是否具有单调性，如果多个间断的区间，就不能说单调性了！