设函数y=f(x) =ax^2+bx+c,当|X|<=1时,总有|f(x)|<=1,求证|f(x)|<=7 5
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1)
f(1)=a+b+c=-a/2
所以,b+c=-3a/2
判别式,△=b²-4ac
=b²-4a(-3a/2-b)
=b²+6a²+4ab
=b²+4ab+4a²+2a²
=(b+2a)²+2a²
因为a≠0,所以,△>0,方程有两不等实根
2
|x1-x2|=√((x1+x2)^2-4x1x2)=√(b²-4ac)/a²=√[(b+2a)²+2a²]/a²
可知,当b=-2a时|x1-x2|取最小值=√2a²/a²=√2
且|x1-x2|不存在最大值。
所以,|x1-x2|的取值范围为,[√2,+∞)
3
由于a+b+c=-a/2
所以,f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=2a+2a+2b+2c-c=2a-a-c=a-c
所以,y=f(0)*f(2)=c(a-c)
(1)显然c<0,或者c>a时,y<0,即,f(0)和f(2)异号。f(x)在(0,2)内必然有一个零点。
(2)当0<c<a时,y>0。这时,ax²+bx+c=0的两根x1,x2满足
x1*x2=c/a,可得,0<x1*x2<1
x1+x2=-(-3a/2-c)/a可得(3a/2+0)/a<x1+x2<(3a/2+a)/a
即3/2<x1+x2<5/2,显然至少有一根在区间(0,2)内。
(3)当c=0时,有,b=-3a/2
ax²+bx+c=0的两个根为,x1=0;x2=3/2,满足要求。
f(1)=a+b+c=-a/2
所以,b+c=-3a/2
判别式,△=b²-4ac
=b²-4a(-3a/2-b)
=b²+6a²+4ab
=b²+4ab+4a²+2a²
=(b+2a)²+2a²
因为a≠0,所以,△>0,方程有两不等实根
2
|x1-x2|=√((x1+x2)^2-4x1x2)=√(b²-4ac)/a²=√[(b+2a)²+2a²]/a²
可知,当b=-2a时|x1-x2|取最小值=√2a²/a²=√2
且|x1-x2|不存在最大值。
所以,|x1-x2|的取值范围为,[√2,+∞)
3
由于a+b+c=-a/2
所以,f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=2a+2a+2b+2c-c=2a-a-c=a-c
所以,y=f(0)*f(2)=c(a-c)
(1)显然c<0,或者c>a时,y<0,即,f(0)和f(2)异号。f(x)在(0,2)内必然有一个零点。
(2)当0<c<a时,y>0。这时,ax²+bx+c=0的两根x1,x2满足
x1*x2=c/a,可得,0<x1*x2<1
x1+x2=-(-3a/2-c)/a可得(3a/2+0)/a<x1+x2<(3a/2+a)/a
即3/2<x1+x2<5/2,显然至少有一根在区间(0,2)内。
(3)当c=0时,有,b=-3a/2
ax²+bx+c=0的两个根为,x1=0;x2=3/2,满足要求。
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