Question

设函数y=f(x) =ax^2+bx+c,当|X|<=1时，总有|f(x)|<=1,求证|f(x)|<=7

Answer 1

1)
f(1)=a+b+c=-a/2
所以，b+c=-3a/2
判别式，△=b²-4ac
=b²-4a(-3a/2-b)
=b²+6a²+4ab
=b²+4ab+4a²+2a²
=(b+2a)²+2a²
因为a≠0，所以，△>0，方程有两不等实根
2
|x1-x2|=√（(x1+x2)^2-4x1x2）=√(b²-4ac)/a²=√[(b+2a)²+2a²]/a²
可知，当b=-2a时|x1-x2|取最小值=√2a²/a²=√2
且|x1-x2|不存在最大值。
所以，|x1-x2|的取值范围为，[√2，+∞)
3
由于a+b+c=-a/2
所以，f(0)=c，f(2)=4a+2b+c=2a+2a+2b+2c-c=2a-a-c=a-c
所以，y=f(0)*f(2)=c(a-c)
（1）显然c<0，或者c>a时，y<0，即，f(0)和f(2)异号。f(x)在（0，2）内必然有一个零点。
（2）当0<c<a时，y>0。这时，ax²+bx+c=0的两根x1,x2满足
x1*x2=c/a,可得，0<x1*x2<1
x1+x2=-(-3a/2-c)/a可得(3a/2+0)/a<x1+x2<(3a/2+a)/a
即3/2<x1+x2<5/2，显然至少有一根在区间（0，2）内。
（3）当c=0时，有，b=-3a/2
ax²+bx+c=0的两个根为，x1=0；x2=3/2，满足要求。