Question

初中数学题，答案要具体、详细

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4√2,∠B=45º，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段CD每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动时间t秒

1、求BC的长

2、当MN∥AB时，求t的值

3、t为何值时，△MNC是等腰三角形

Answer 1

1、
过A点作垂线AE垂直于BC，过D点作垂线DF垂直于BC；
因∠B=45º，则在直角三角形ABE中，通过AB=4√2，列式AB^2=AE^2+BE^2，且AE＝BE，解得BE＝4；
直角三角形DFE中，DC＝5，因AD∥BC，则AE＝DF＝4，勾股定理得FC＝3，
AEFD为长方形，EF＝AD＝3；
BC＝BE+EF+FC＝4+3+3＝10。
2、过D作直线DP∥AB，当MN∥AB，即MN∥DP，在三角形CDP中，有△MNC与△DPC相似，
则CN/CM=CD/CP，
因ABPD为平行四边行，则BP＝AD＝3，CP＝10－3＝7；
M点以每秒2个单位走了t秒，则BM＝2t，CM＝10－2t；
N点以每秒1个单位走了t秒，则CN＝t；
CD＝5；
代入比例等式有：t/(10-2t)＝5/7，
解t=50/17。
3、
△MNC是等腰三角形，有三种情况：
1)MN＝CN；2）MC＝CN；3）MC＝MN。
1）过N作垂线NQ垂直于BC，则有△DFC与△NQC相似，则CQ/CN=CF/CD；
则CQ＝3/5 CN=3/5 t ，
△MNC是等腰三角形，MC=2CQ=6/5 t
另MC＝10－BM＝10－2t，
则有10－2t=6/5t，解t=50/16。
2）MC＝CN＝t，
MC＝10－BM＝10－2t，
则10－2t＝t，解t=10/3。
3）过M点作MS垂直于CD，
则有△DFC与△MSC相似，（因公共角C，直角三角形，三个角相等）
则有CS/CM=CF/CD
CM＝10－BM＝10－2t，
△MNC是等腰三角形，CN=2CS=t，即CS＝t/2，
则有CS/CM=CF/CD，t/2 / (10-2t)=3/5，
解t=60/17。

Answer 2

解：1、过A点做AE⊥BC于E，过D点做DF⊥BC于F。
由∠B=45°易知AE=BE=DF=4。
又在RTΔDFC中，求得FC=3。
所以BC=BE+EF+FC=4+3+3=10
2、设NC=x，过N点做NP⊥MC于P，由三角形知识可得：
NP=NCsinC=4x/5
PC=NCcosC=3x/5
BM=2x
MC=10-2x
MP=BC-BM-PC=10-2x-3x/5
当MN∥AB时，∠NMC=45°
此时 NP=MP
解得x=50/17
由于t=x=50/17
故t的值为50/17
3、要使△MNC为等腰三角形，有3中情况。
第一：MC=NC
此时10-2x=x，
t=x=10/3
第二：MN=NC
此时PC=MP=3x/5
MC=10-2x=6x/5
t=x=25/8
第三：MN=MC
此时cosC=（NC/2）/MC=3/5
（x/2）/（10-2x）=3/5
解得t=x=60/17。

Answer 3

解答：1、分别过A、D作BC的垂线，垂足分别为H、G点，∴△ABH是等腰直角△，∴AH=BH=4，∴DG=AH=4，由勾股定理得GC=3，而HG=AD=3，∴BC=10。 2、当MN∥AB，过D作DE∥AB交BC于E点，∴△CNM∽△CDE，∴CM／CE=CN／CD，∴﹙10－2t﹚／﹙10－3﹚=t／5， ∴t=50／17。 3、△MNC是等腰△，MC=10－2t，NC =t，MN =MC或NC，分三种情况讨论：①MC=NC：10－2t=t，解得：t=10／3。②MN=NC=t，MC=10－2t,过N作MC的垂线，垂足为F，由NF／DG=CN／CD∴NF=4／5t，考察直角△NCF，由勾股定理得：FC=3／5t，又由等腰△性质得FC=5－t，∴3／5t=5－t解得：t=25／8。③MN=MC=10－2t，考察直角△NMF，MF=10－2t－3／5t=10－13／5t，由勾股定理得：MN²=MF²＋NF²代人﹙4／5t﹚²＋﹙10－13／5t﹚²=﹙10－2t﹚²解得：t=60／17.／

Answer 4

1、做分别从A、B点做垂直于BC辅助线交BC于E、F点，由AB=4√2,∠B=45º,知AE=BE=4=DF，由DF=4，DC=5知CF=3，由AD=3知EF=3，所以BC=BE+EF+CF=10。
所以M到C点与N到D点均需要5S。
2、从N点做垂直于BC辅助线交BC于G点，由题中条件得CN=t*1=t，BM=t*2=2t，由NG/CN=DF/CD得NG=4/5t，当MN∥AB时既得CG=3/5t，MG=4/5t，所以CM=CG+MG=7/5t，所以BC=CM+BM=7/5t+2t=10，得t=50/17s。
3、有3种情况CN=CM或CN=MN或CM=MN，分别讨论
（1）CN=CM，CN=t=CM，MB=2t，即CM+BM=BC=10,得t=10/3s。
（2）CN=MN，即为CG=GM=1/2CM，由2题中得CG=3/5t，BM=2t，即CM=6/5t，CM+BM=BC=10=16/5t，t=50/16s。
（3）CM=MN，从M做辅助线交CD于H点，即为CH=HN=1/2CN=1/2t，CM=10-2t，CH/CM=CF/CD,得t=60/17s。

Answer 5

解：
1、从点A向BC做垂线段AE，从点D向BC做垂线段DF。
由已知条件可得AE=BE=DF=4，
又因为：CD=5 ，根据勾股定理得CF=3
所以：BC=BE+EF+CF=4+3+3=10

Answer 6

过A点作垂线AE垂直于BC，过D点作垂线DF垂直于BC；
因∠B=45º，则在直角三角形ABE中，通过AB=4√2，列式AB^2=AE^2+BE^2，且AE＝BE，解得BE＝4；
直角三角形DFE中，DC＝5，因AD∥BC，则AE＝DF＝4，勾股定理得FC＝3，
AEFD为长方形，EF＝AD＝3；
BC＝BE+EF+FC＝4+3+3＝10。
2、过D作直线DP∥AB，当MN∥AB，即MN∥DP，在三角形CDP中，有△MNC与△DPC相似，
则CN/CM=CD/CP，
因ABPD为平行四边行，则BP＝AD＝3，CP＝10－3＝7；
M点以每秒2个单位走了t秒，则BM＝2t，CM＝10－2t；
N点以每秒1个单位走了t秒，则CN＝t；
CD＝5；
代入比例等式有：t/(10-2t)＝5/7，
解t=50/17。
3、
△MNC是等腰三角形，有三种情况：
1)MN＝CN；2）MC＝CN；3）MC＝MN。
1）过N作垂线NQ垂直于BC，则有△DFC与△NQC相似，则CQ/CN=CF/CD；
则CQ＝3/5 CN=3/5 t ，
△MNC是等腰三角形，MC=2CQ=6/5 t
另MC＝10－BM＝10－2t，
则有10－2t=6/5t，解t=50/16。
2）MC＝CN＝t，
MC＝10－BM＝10－2t，
则10－2t＝t，解t=10/3。
3）过M点作MS垂直于CD，
则有△DFC与△MSC相似，（因公共角C，直角三角形，三个角相等）
则有CS/CM=CF/CD
CM＝10－BM＝10－2t，
△MNC是等腰三角形，CN=2CS=t，即CS＝t/2，
则有CS/CM=CF/CD，t/2 / (10-2t)=3/5，
解t=60/17。