Question

已知f(x)=2^x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和

已知f(x)=2^x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，若关于x的不等式ag(x)+h(2x)>=0对于x属于【1,2】恒成立，则实数a的最小值是？

Answer 1

f(x)=g(x)+h(x)
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2=[2^x-2^(-x)]/2
h(x)=)=[f(x)+f(-x)]/2=[2^x+2^(-x)]/2
Z(x)=ag(x)+h(2x)=1/2[ a 2^x+4^x-a/2^x+1/4^x)]>=0
Z(1)=1/2[1.5a+4.25]>0, --> a>=-4.25/1.5=-17/6
z(2)=1/2[3.75a+16+1/16]>=0, a>=-257/60
所以有a>=-17/6

Answer 2

g(x)=[2^x-2^(-x)]/2，h(x)=[2^x+2^(-x)]/2,
令t=t(x)=2^x-2^(-x)]，则当1≤x<y≤2时，
[2^x-2^(-x)]-[2^y-2^(-y)]=[2^x+2^(-y)]*[1-2^(y-x)]<0,
∴t=t(x)=2^x-2^(-x)]是[1，2]上的增函数，且t(1)≤t(x)≤t(2),，即t∈[3/2，15/4]
ag(x)+h(2x)>=0即a[2^x-2^(-x)]/2+[2^2x+2^(-2x)]/2≥0,即a[2^x-2^(-x)]+[2^2x+2^(-2x)]≥0，
即a[2^x-2^(-x)]+[2^x-2^(-x)]^2+2≥0
故F(t)=t²+at+2≥0在t∈[3/2，15/4]时恒成立，下面分3种情况来解决：
（1）-a/2≤3/2①时，F(t)=t²+at+2在t∈[3/2，15/4]是增函数，只要F(3/2)≥0②即可，由①②解出；
（2）-a/2≥15/4③时，F(t)=t²+at+2在t∈[3/2，15/4]是减函数，只要F(15/4)≥0④即可，由③④解出；
（3）3/2<-a/2<15/4⑤时，F(-a/2)最小，只要F(-a/2)≥0⑥即可，由⑤⑥解出；
合并（1）、（2）、（3）的结果……