Question

③若f(x)为偶函数,且f(1+x)=-f(x),则f(x)的图象自身关于直线x=2对称; ④若 为奇函数，且 ，则 的图象自身

有下列命题：①若f(1+x)=-f(1-x)，则f(x)的图象自身关于点(1.0) 对称② f(1+x)与f(1-x) 的图象关于直线x=1对称；③若f(x)为偶函数,且f(1+x)=-f(x),则f(x)的图象自身关于直线x=2对称; ④若f(x)为奇函数，且f(x)=f(-x-2) ，则f(x)的图象自身关于直线x=1对称 正确的是（） 很急 谢谢大家

Answer 1

首先要知道关于对称轴和对称中心的结论：
若f(2a+x)=f(-x)（或f(a+x)=f(a-x)）,则函数图象关于x=a对称。
若f(2a+x)=2b-f(-x)（或f(a+x)=2b-f(a-x)）,则函数图象关于点（a,b）对称。

正确的是①③④
根据上面的结论，①显然正确。

f(x)与 f(-x)关于y轴对称，f(1+x)可以看作f(x)的图象向左平移一个单位。
f(1-x)=f(-(x-1)) 可以看作f(x)的图象向右平移一个单位，
所以f(1+x)与f(1-x) 的图象关于y轴对称，②错误。

f(1+x)=-f(x),则f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),
所以函数周期为2.
f(x)为偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称，因为函数周期为2，
所以函数图象关于直线x=2对称。③正确。

f(x)=f(-x-2) ，说明函数图象关于直线x=-1对称。
f(x)为奇函数，它的图象关于原点对称，
所以函数图象也关于直线x=1对称。④正确。