Question

初三圆的几何难题

如图，AC，BD为圆O的两条切线，切点为A，B， E在弧AB上，圆周角∠AEB=∠C，求证：（1）∠C=∠D. （2）AC=BD

Answer 1

(1)连接AB，则角CAE=ABE，DBE=BAE，弦切角定理，再由内角和定理和角E=C，可得C=D
(2)由上题可知，角ACE+AEB+C=180，故而AB平行于CD，又角C=D，故AC=BD，等腰梯形

追问

角ACE+AEB+C=180 这是怎么来的？

追答

角CAE+EAB+C=180，上次写错了，根据四边形内角和还有弦切角定理可以得出

Answer 2

(1)
延长AE交CD于F,连接AB,延长CA,DB交于G,
圆周角∠AEB=∠C,
圆周角∠EBA=圆周角∠CAF,[等弧对等角]
所以∠AFC=180度-∠CAF-∠C=180度-∠EBA-∠AEB=∠EAB,
故AB‖CD,[内错角相等,两条直线平行]
因此∠D=∠GBA,[同位角]
∠GBA=∠AEB,[等弧对等角]
∠D=∠AEB=∠C,
所以∠C=∠D.

(2)
∠C=∠D.
三角形GCD为等腰三角形,GC=GD,
连接OA,OB,GO,
∠GAO=∠GBO=90度,AO=BO,GO=GO,
GA²=GO²-AO²=GO²-BO²=GB²
GA=GB
AC=GC-GA=GD-GB=BD,[GC=GD,GA=GB]
所以AC=BC

Answer 3

1）连接AB 并延长DB、CA交F 圆弧对映的两个圆周交相等即∠C等于∠FCB=∠FBA=∠AEB 推出 AB平行CD推出∠FBA=∠D推出结论！
2）由1）推出ABDC是等腰梯形 直接推出结论！