Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA垂直底面ABCD，且PA=AD，E为棱PC上的一点，PD垂直平面ABE

求证E为PC的中点

Answer 1

建立空间坐标系求解。以A点为顶点，AD为X轴，AB为Y轴，AP为Z轴。设正方形边长为1，则其中的点有A(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)。设E(x,y,z)。
向量有PD=（1,0，-1），AE=（x,y,z）,BE=(x,y-1,z)，PE=（x,y,z-1）,PC=(1,1,-1).
因为PD垂直平面ABE，所以有：向量PD×AE=0，PD×BE=0；则有:x-z=0,①
因为E在PC上，所以有，PE=mPC，即x=m,y=m,z-1=-m.解的：x=y=1-z,②
由①②可以解得：x=y=z=0.5.
因此E(0.5,0.5,0.5)，所以E点为PC中点。

Answer 2

建立空间坐标系求解。以A点为顶点，AD为X轴，AB为Y轴，AP为Z轴。设正方形边长为1，则其中的点有A(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)。设E(x,y,z)。
向量有PD=（1,0，-1），AE=（x,y,z）,BE=(x,y-1,z)，PE=（x,y,z-1）,PC=(1,1,-1).
因为PD垂直平面ABE，所以有：向量PD×AE=0，PD×BE=0；则有:x-z=0,①
因为E在PC上，所以有，PE=mPC，即x=m,y=m,z-1=-m.解的：x=y=1-z,②
由①②可以解得：x=y=z=0.5.
因此E(0.5,0.5,0.5)，所以E点为PC中点 也可以用几何方法解但是没有图怕你不明白！谢谢