Question

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点。

求证：（1）C1O//面AB1D1（2）A1C垂直面AB1D1

Answer 1

1
设顶面A1 B1 C1 D1的中心（即对角线的交点，类似于O点）为点 01.

连接 A 和点 O1.

易证，A O C1 O1为平行四边形，所以线A 01 平行于线 C1 O

由于线A 01 属于面A B1 D1 ，而A 01 平行于 C1 O

所以C1 0 平行于面 A B1 D1
2
证明：
连接A1C1;
∵正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C1,B1D1是面A1B1C1D1的对角线；
∴A1C1⊥B1D1，
又CC1⊥面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1
又A1C1∩CC1=C1
∴B1D1⊥面A1CC1
∴B1D1⊥A1C
同理连接A1B，可证AB1⊥A1C
这样B1D1∩AB1=B1
∴A1C⊥面AB1D1；

Answer 2

因为是正方体
所以AD1平行BC1
所以所求角为∠OC1B
设正方体的棱长为a(下面用1算）
BC1=根号2
BO=2分之根号2
=CO
OC1=2分之根号6
因为余弦定理
cos∠OC1B=2分之根号3
所以所求角为30度
因为是正方体
CC1垂直面A1B1C1D1
因为B1D1属于面A1B1C1D1
所以CC1垂直B1D1
因为A1B1C1D1是正方形
所以B1D1垂直A1C1
因为A1C1交CC1于C1
所以B1D1垂直面AA1C1C
因为B1D1属于面AB1D1
所以面AB1D1垂直面AA1C1C