Question

已知:在△ABC中外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F,求证:点F在∠DAE的平分线

Answer 1

过点F作FG⊥AB，FH⊥AC，FI⊥BC
∵BF、CF分别平分∠CBD 、∠BCE
FG⊥AB，FH⊥AC，FI⊥BC
∴∠DBF=∠FBC ∠ICF=∠HCF
∠BGF=∠BIF=∠CHF=90
在△BFG与 △BFI中
∠DBF= ∠FBC
∠BGF= ∠BIF
BF=BF
∴△BFG ≌△BFI （AAS）
∴DF =FI
在△FIC与 △FCH中
∠ICF= ∠CHF
∠BIF= ∠CHF
CF =CF
∴△FCI ≌△FCH（AAS）
∴FH =FI
∴FH =GH
在Rt△ AFD 与Rt△ AFE中
AF= AF
FH =GH
∴Rt △AFD ≌RTt△AFE HL
∴∠DAF= ∠FAE
∴AF为∠BAC的平分线
∴点F在∠DAE的平分线上
有点复杂哈

Answer 2

过点F作FG⊥AB，FH⊥AC，FI⊥BC
∵BF、CF分别平分∠CBD 、∠BCE
FG⊥AB，FH⊥AC，FI⊥BC
∴∠DBF=∠FBC ∠ICF=∠HCF
∠BGF=∠BIF=∠CHF=90
在△BFG与 △BFI中
∠DBF= ∠FBC
∠BGF= ∠BIF
BF=BF
∴△BFG ≌△BFI （AAS）
∴DF =FI
在△FIC与 △FCH中
∠ICF= ∠CHF
∠BIF= ∠CHF
CF =CF
∴△FCI ≌△FCH（AAS）
∴FH =FI
∴FH =GH
在Rt△ AFD 与Rt△ AFE中
AF= AF
FH =GH
∴Rt △AFD ≌RTt△AFE HL
∴∠DAF= ∠FAE
∴AF为∠BAC的平分线
∴点F在∠DAE的平分线上

Answer 3

作FG垂直AB于G
作FH垂直AC于H
作FI垂直BC于I
因为BF平分CBD CF平分BCE
所以FG=FI FI=FH
所以FG=FH
AF=AF
角AGF=角AHF=90
所以AGF全等于AHF
所以AF平分DAE

Answer 4

作FG垂直AB于G
作FH垂直AC于H
作FI垂直BC于I
因为BF平分CBD CF平分BCE
所以FG=FI FI=FH
所以FG=FH
AF=AF
角AGF=角AHF=90
所以AGF全等于AHF
所以AF平分DAE