Question

fx是R上的偶函数,f(2)=0,gx是R上的奇函数,且对于x∈R,都有gx=f(x-1),求f(2002)

Answer 1

f(x)=g(x+1)
=-g[-(x+1)]
=-f[-(x+1)-1]
=-f[-(x+2)]
=-f(x+2)
=-g(x+3)
=g[-(x+3)]
=f[-(x+3)-1]
=f[-(x+4)]
=f(x+4)
所以，f(x)是周期为4的周期函数。
故f(2002)=f(2)=0.
解题思路，这类题目最彻底的通解方法，就是反复利用函数的奇偶性进行代换，最终求得函数的周期T。有时会用到定义在R上的奇函数在0处函数值也是0这个性质，当然，这里没有用到。

Answer 2

依题意得f(-2)=0,gx=f(x-1),带入x=3和x=-1求得g(3)和g(-1)，且知道gx在R上奇函数。求f(2002)
为多少，自己算下就出来。

Answer 3

g(-x)=f(-x-1)=-f(x+1)=f(x-1)
f(x+1)=-f(x-1)
f(x+2)=-f(x)
f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
所以f（x）是周期为4的奇函数
所以f（2008）=f（0）
因为f（x）是奇函数
所以f（0）=-f（0）
所以f（0）=0
所以f（2008）=0