Question

已知数列{an}的各项均为正数，Sn为、为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn=3an-3

设数列{bn}上网通项公式是bn=1/log3 an*log3 ^a（n+1)的前n项和为 Tn，求证对于任意的正整数n，总有Tn<1

Answer 1

∵2Sn=3an-3
∴当n≥2时 an=Sn-S(n-1)
∴2an=3an-3a(n-1)
整理得 an=3a(n-1)
∵a1=S1
∴a1=3
∴数列{an}是公比为3，首项为3的等比数列 an=3*3^(n-1)=3^n
∵bn=1/log3 an*log3 ^a（n+1)
∴bn=1/n*(n+1)=1/n-1/(n+1)
Tn=b1+b2+b3+......bn=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4......1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)＜1 得证

Answer 2

S<n-1> = 3S<n-2> +3
S<n-1> = 3^(n-2)*a1 + 3^(n-2) + 3^(n-3) + .... + 1
a<n> = 2S<n-1> + 3
:>
a<n>=