Question

如图 4 - 22，过边长为1的等边△ABC的边AB上的一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，

如图 4 - 22，过边长为1的等边△ABC的边AB上的一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为 （ ）
（A）1/3 （B）1/2 （C）2/3 （D）不能确定

Answer 1

作PF∥AC交BC于F，因为△ABC是等边三角形，所以APFC是等腰梯形，
∴FC=QC，PF=BP
∴CD是ΔQPF的中位线，CD=PF/2=BP/2
又∵∠A=60°，PF⊥AC
∴AE=AP/2
∴AE+CD=AP/2+BP/2=AB/2=AC/2=1/2
∴DE=AC-（AE+CD）=AC-AC/2=AC/2=1/2
所以，答案是B。

追问

FC=QC,PF=BP是为什么？

追答

APFC是等腰梯形
∴FC=QC，
因△ABC是等边三角形，PF∥AC，那么△PBF也是等边三角形
∴PF=BP

Answer 2

B
过P作PF∥BC交AC于F，则△APF是等边△，
AE=EF(三线合一）.......①
△PFD≌QCD（AAS）
CD=DF.......②
①+②得DE=AC/2=1/2

Answer 3

解：过P作PM∥BC，交AC于M；
∵△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，
∴AE=EM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
∴△PMD≌△QCD；
∴CD=DM；
∴DE=DM+ME=12（AM+MC）=12AC=12，故选B．
分析：过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．