Question

发散函数一定无界吗？

Answer 1

发散函数不一定无界。

如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个反例是调和级数。

发散函数解释

在实际的数学研究以及物理、天文等其它学科的应用中，经常会自然地涉及各种发散级数，所以数学家们便试图给这类发散级数客观地指派一个实或复的值，定义为相应级数的和，并在这种意义之下研究所涉及的发散级数。

每一种定义都被称为一个可和法，也被理解为一类级数到实数或复数的一个映射，通常也是一个线性泛函，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法与波莱尔可和法等。可和法通常保持收敛级数的收敛值，而对某些发散级数，这种可和法和能额外定义出相应级数的和。

例如切萨罗可和法将格兰迪级数可和到1/2。大部分可和法与相应幂级数的解析延拓相关，每个适当的可和法试图描述的是序列趋于无穷时的平均表现，这种意义下也可以理解为无穷序列的均值。

Answer 2

发散只是不收敛而已
可以是有界的函数
比如数列0,1,0,1,0,1,...没有极限
但是却是有界的
而反过来收敛的数列
则一定就是有界的

Answer 3

通项无界的级数一定发散。例如 ： ∑<n=1,∞> √n 发散。
但发散的级数不一定无界。例如 ： ∑<n=1,∞> (-1)^n 发散, 但 (-1)^n 有界。