Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，-2/3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动．
①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）A（0，-2）B（2，-2）C（2，0）
因为抛物线过A、B、D
所以可列方程组c=-2
4a+2b+c=-2
16a+4b+c=-2/3
解得a=-1/3
b=2/3
c=-2
所以抛物线为y=-1/3x^2+2/3x-2
（2）①因为P从A到B，所以0≤t≤1
PB=2-2t，QB=t
所以PQ=根号下（（2-2t)^2+t^2）
所以S=5t^2-8t+4
②S=5(t-4/5)^2+4/5
所以t=4/5时S最小，为4/5
此时P（8/5，-2）Q（2，-6/5）
若PB与QR平行
则R在直线y=-6/5上，且QR=PB=2/5
所以R（8/5，-6/5）或（12/5，-6/5）
若QB与PR平行，PQ与BR平行
则R在直线x=8/5上，且PR=4/5
所以R（8/5，-14/5）
综上，R（8/5，-6/5）或（12/5，-6/5）或（8/5，-14/5）

Answer 2

（1）解：正方形OABC的四个顶点坐标分别为O：（0,0）A：（0，-2）B：（2，-2）C：(2,0）
又因为抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D
所以 0+0+c=-2
4a+2b+c=-2
16a+4b+c=-2/3
所以a=1/6 b=-2/3 c=-2
抛物线的解析式为y=1/6x2-2/3 x-2
（2）①移动开始后第t秒时，AP=2t（cm），BQ=t（cm),所以PB=2-2t（cm）
所以S=PQ2=PB2+BQ2=5t2-8t+4 0<t<1
②由S与t之间的函数关系式可知当t=4/5时，S取得最小值（把表达式配成完全平方式即可得)
则此时P点坐标为（2/5，-2）Q点坐标为（2,6/5)
假设在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形
又因为BQ在直线x=2上且BQ=4/5，所以PR应在一条直线上且该直线平行于x=2，故R在直线x=2/5上
所以R点坐标为(2/5，-14/5)或者（2/5，6/5）
再把两点分别代入抛物线方程进行检验即可，所以当R=2/5时，y=-44/25
该假设不成立，所以在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形

Answer 3

这是2011兰州中考最后一题

Answer 4

1

Answer 5

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