Question

如图在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm.点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB

同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q,连接PE.PF.设运动时间为t（s）（0〈t〈5).解答下列问题：
（1）.当t为何值时，PE∥CD?
(2)试判断三角形PEF形状，并并请说明理由；
(3)当0＜t＜2.5时，
①在上述运动过程中，五边形ABFPE的面积是否为定值？如果是，直接写出五边形ABFPE的面积，如果不是，说明理由；
②试求三角形PEQ的面积的取值范围.

Answer 1

（1）首先用t表示出AE、CP、AP的长，若PE∥CD，那么△APE∽△ACD，根据相似三角形所得比例线段即可求得此时t的值．
（2）由于AD=AC，且QE∥CD，所以△AQE也是等腰三角形，即AQ=AE，由P、Q的速度可知：CP=AE=AQ，进而可求得CQ=AP，同理可证得△CFQ也是等腰三角形，即CF=CQ，由此得CF=AP，已求得AE=PC，而∠DAC=∠FCP，由此可证得△FCP≌△PAE，即可证得PF=PE，即△PEF是等腰三角形．
（3）①由（2）的全等三角形知：△AEP、△EPC的面积相等，因此五边形的面积可转化为△ABC的面积，所以五边形的面积是个定值；
②由（1）的相似三角形，易求得QE的表达式，分别过C、P作AB、EF的垂线CG、PH，交AB于G，交EF于H，根据等腰三角形三线合一的性质，易求得AG、BG的值，进而可求得∠ACG（即∠EPH）的余弦值，即可根据PQ的长表示出QE边上的高PH的值，由三角形的面积公式，可得关于△PQE的面积和t的函数关系式，根据函数的性质即可得到△PQE的最大面积，从而求得其面积的取值范围．解答：（本题12分）
解：（1）由题意知AE=BF=CP=t，AP=5-t，
在▱ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
当PE∥CD时，△APE∽△ACD，
∴ T/5=5-T/5，
∴t=2.5．

（2）是等腰三角形．
证明：在▱ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥EF，∴∠CQF=∠CAB，∠CFQ=∠CBA，
∴∠CFQ=∠CQF，∴CF=CQ，
∴AQ=BF=AE，∴AP=CQ=CF，
∵AD∥BC，∴∠PAE=∠FCP，
∴△PAE≌△FCP（SAS），∴PE=PF．

（3）①是定值，为12．
理由：由（2）的全等三角形知：S△AEP=S△PCF，即S五边形BFPEA=S△ABC；
过C作CG⊥AB于G，
等腰△ACB中，AG=BG=3，AC=BC=5，则CG=4；
∴S五边形BFPEA=S△ABC= ×6×4=12．
②由（1）知：△APE∽△ACD，
∴OE/CD=AE/AD ，即 OE/6=T/5，QE=6T/5 ；
过P作PH⊥EF于H，
由①易得：cos∠APH=cos∠ACG=4/5 ，
故PH= 4/5PQ= 4/5（5-2t）；
设△PEQ的面积为y，则Y= -24/25(T-5/4)的平方+3/2，
∴当 t=5/4时，y最大=3/2 ，
∴ 0>sPEO<3/2

Answer 2

啊

Answer 3

EF点=BD点?
P点在哪里?

追问

P点在对角线AC上，我没办法插入图片~~~

Answer 4

额