Question

23.如图所示,点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上任意一点，DE丄AC于点E，DF丄BC于点F。

（1）求证：CE=CF
（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由。

Answer 1

1）

∵点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上任意一点

∴CD是线段AB的中垂线，也是∠C的角平分线

∴∠C1=∠C2

又CD公共

又DE丄AC，DF丄BC。

∴DE=DF （角平分线上的点到两边距离相等）

∴RT△CED≌RT△CFD（AAS）

∴CE=CF

2）当C点下移到C1点，使C1D=AD=BD时

四边形CEDF成为正方形

理由如下：

∵C1D=AD=BD

∴∠1=∠2=45度

∴∠C1=∠1+∠2=90度

又CE=CF

∴四边形CEDF成为正方形

Answer 2

分析：（1）由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，∴∠ACD=∠BCD，再加∠EDC=∠FDC=90°，可证得△ACD≌△BCD（AAS），∴CE=CF；
（2）因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形．所以当AC⊥BC时，四边形CEDF为正方形．解答：

证明：（1）∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
又∵AC=CB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∵CD=CD，
∴△DEC≌△DFC．（AAS）
∴CE=CF．

（2）当AC⊥BC时，四边形CEDF为正方形．
因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形．

Answer 3

（1）证明：
∵C在AB的垂直平分线上
∴CA=CB
∵C是AB的中点，
∴CD平分∠ACB
DE⊥AC，DF⊥BC
∴DE=DF
∵CD=CD
∴△CDE≌△CDF
∴CE=CF
（2）当CD=1/2AB 时，四边形CEDF是正方形
证明：
当CD=1/2AB 时，∵AD=AB
∴∠ACB=90°
∵∠DEC=∠DFC=90°
∴四边形CEDF是矩形
∵CE=CF
∴四边形CEDF是正方形

Answer 4

（1）∵CD是AB的中垂线，AD＝BD
∴ΔABC是等腰三角形，AC＝BC
∴∠A＝∠B
∵DE丄AC，DF丄BC
∴ΔADE≌ΔBDF
∴CE=CF
（2）若四边形CEDF成为正方形，则∠ACB＝90º
那么∠A＝∠B＝45º，
∵CD是AB的中垂线
∴CD＝AD＝BD

Answer 5

（1）证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
又∵AC=CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∵CD=CD，
∴△DEC≌△DFC．（AAS）
∴CE=CF．

（2）解：当CD=1/ 2 AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=1 2 AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．