Question

如图△ABC中,BD⊥AC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E,F为BC的中点,连EF,DF,求证,求证∠A=9

如图△ABC中,BD⊥AC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E,F为BC的中点,连EF,DF,求证,求证∠A=90°-1/2∠EFD

Answer 1

设BD与CE交于H
则在四边形AEHD中
∠EHD+∠A=360°-∠AEC-∠ADB=180° （四边形内角和为360°）
所以∠EHB=∠A=∠DBC+∠ECB （补角， 外角等于两内角和）

在四边形AEFD中
∠EFD+∠A+∠AEF+∠ADF=360° （四边形内角和为360°）
所以
∠EFD+∠A+∠CEF+90°+∠BDF+90°=360°
所以
∠EFD+∠A+∠CEF+∠BDF=180°

又因为∠CEF=∠ECF，∠BDF=∠DBF （RT△斜边上的中线等于斜边的一半，△EFC和△BFD是等腰三角形）
所以
∠EFD+∠A+∠ECF+∠DBF=180°
所以
∠EFD+∠A+∠EHB=180°
所以
∠EFD+∠A+∠A=180°
所以
∠A=90°-1/2∠EFD

Answer 2

以F为圆心BC为直径作圆，由BD⊥AC,CE⊥AB,，则D、E必在圆F上，所以∠EFD为∠EBD的圆心角，故∠EBD=1/2∠EFD，又BD⊥AC，所以∠A=90°-∠EBD=90°-1/2∠EFD

Answer 3

证明 ：△ABC中，因为BD⊥AC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E ，所以BEDC四点共圆，
∠ECD=1/2∠EFD
∠A+∠ECD=90°
所以∠A=90°-1/2∠EFD