Question

高中数学应用题。

某城市2010年末汽车保有量为90万辆，根据城市规划发展规划，该汽车的保有量最多不超过180万辆，为此，该市计划采取控制新增汽车牌号数的措施，假设：
1）每年新增数量控制在一个固定水平
2）伺候每年汽车报废量为上年度总量的6%
3）不考虑外地牌号车辆的数目
4）报废车换新车按新车牌计算
求：
每年新增车牌号不应该超过多少张？

Answer 1

根据条件，可以设每年新增的车牌号数目是x个
设数列an是第n年得汽车保有量(万辆)
第一年（2010）的汽车保有量是a1 = 90
a2 = a1×(1-6%) + x = 90×0.94 + x (去掉报废量，加上新增的车牌数目)
a3 = a2×(1-6%) + x = 90×0.94² + 0.94x + x
.......
an = 90×0.94^(n-1) + (1+0.94+0.94²+...+0.94^(n-2))x
根据城市规划 an≤180 对所有自然数n均成立。
即 90×0.94^(n-1) + （1-0.94^(n-1))/(1-0.94) ·x ≤180
x≤5.4(2-0.94^n-1)/(1-0.94^n-1)
不等式右边看成关于n的函数，可以令分母 t = (1-0.94^n-1)
则函数就是f(t) = 5.4(1+t)/t = 5.4(1+1/t) 单调减
于是关于n的函数单调减
因此不等式右边的最小值应该是n趋于无穷大的极限。极限值为5.4×2÷1=10.8
所以每年新增的车牌数不超过10.8万辆

追问

很详细啊。

Answer 2

假设上一年的保有量为y，每年固定增加x个车牌号，
假设所有的车牌号都能分发完，则这一年的保有量为y=x+0.94y
因此求的x+0.94y<=180
x<=180-0.94y。
求解使用迭代法：初始条件y0=90
yi=0.94y(i-1)+x(i-1)。
目标函数 xi=180-0.94yi
精度|xi-x(i-1)|<0.0001
结果：927835 （精度到个位）

Answer 3

到什么时候不超过180辆

Answer 4

是7.2万两么？