Question

麦克劳林公式是在零附近推出来的，x应该和零接近才有效，为什么x可以取离零很远。估计误差还有效吗。

比如e，这个x离零就是1了。这个误差估计公式怎么能从零平移到1还能用？

Answer 1

是这样，级数是由无数相相加而成，实际生产只取前若干项近似计算，如果相数越少，估算则越粗糙，此时要求x（麦克劳林级数中）尽量接近〇。如果相数多了，x的可取范围就更宽；如果是研究无数相级数，只要在定义域里，x任意取值都可以。

f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(0)*x^2 /2!+f'''(0)*x^3 /3!+……
如果只取前两项，即指有一级修正f(x)=f(0)+f'(0)*x，这时要求x趋近于dx趋近于0
如果取得相多了，修正项也就多了，x就没必要趋近于0了

因为级数有无穷相，所以指数函数里x完全可以偏离0，取到1，则有 e^1=1+1 +1/2!+1/3!+……

追问

这么解释我感觉不是很正确。中午我又想了想。感觉麦克劳林是说这么个意思，如果函数在某一点能展开成一个无限项的级数，那么这个级数就能代替这个函数。你看e的误差估计公式，他直接用到了x=1这个点。除非这个级数等于这个函数，不然怎么能拿过来就用。
如果多项式等于函数，e的展开公式就可以只取前面若干项。对x没有要求，dx不必趋近于0。误差公式就能算前面几项和实际的误差。你看我理解的正确吗？函数必须是连续的吗？

追答

泰勒级数要求原函数在展开点附近能连续求导（不仅仅是连续，而且任意阶导数都要有意义），当然有的函数是有限制的，x只能在某一范围内展成级数。

当函数符合上述条件时，不管在哪里展开，原函数肯定等于级数（不可能不相等，和傅里叶级数不同），包括麦克劳林级数。
如果可以展成级数，肯定是多项式的项数越多，误差越小。
麦克劳林级数中x较小时，x^2以及后面的项是高阶小量，可以只取到x一次项；x较大时，那就要许多许多项来修正。

一般在数值计算中，取多少项是根据实际问题的精度要求而定的。

追问

明白了。谢谢！