Question

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意a，b属于R都有f（a+b）=f（a）+f（b），

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意a，b属于R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0，f（1）=-2，试判断f（x）在[-3，3]上是否有最大值和最小值?如果有，求出最大值和最小值，如果没有，说明理由.

Answer 1

对于任意a，b属于R都有f（a+b）=f（a）+f（b），令b=0，则有f（0）=0，当x>0时，f（x）<0，f（1）=-2，即f（2）=2*f（1）=-4，f（3）=f（1）+f（2）=-6，即当x大于0时，f（x）是逐渐递减的；对任意的正数a，-a为负数，由于f（0）=f（a）+f（-a），f（-a）=-f（a），即当x小于0时，f（x）是递增的。显然f（x）在[-3，3]上有最大值f（-3）=6和最小值f（3）=-6

Answer 2

设x>y f(x)-f(y)=f(x-y+y)-fy=f(x-y)+f(y)-f(y)=f(x-y)＜0
所以f(x)在R上是减函数.
f(0)+f(1)=f(1)
f(0)=0
f(x)+f(-x)=f(0)
f(x)=-f(-x),函数是奇函数。

最小值为f(3)=f(1)+ f(1) + f(1)=-6, 最大值f(-3)=- f(3)=6