Question

过点P（-1,1）作直线交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两点若线段AB的中点恰为点P，求AB所在直线的方程和线段AB长

过点P（-1,1）作直线交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两点若线段AB的中点恰为点P，求AB所在直线的方程和线段AB的长度

Answer 1

设直线方程为 y=kx+b 。
由于直线过（-1,1），所以 1=-k+b ，那么 b=k+1 。
所以直线方程为：y=kx+k+1 。

设直线与椭圆的交点为A（X1，y1） 和 B（X2，y2) .
由于点p是A、B 的中点，所以：
X1+X2=-2 ； ……式1
y1+y2=2 ……式2

因为点A、B在椭圆上 ，所以：
（x1）^2/4+（y1）^2/2=1 ……式3
（ x2）^2/4+（y2）^2/2=1 ……式4
因为点A、B在直线上，所以：
y1=kx1+k+1 ……式5
y2=kx2+k+1 ……式6
将式5带入式3 和将式6带入式4 ，得：
（2k^2 +1) *(X1)^2 +4*k(k+1)X1+2*(k+1)^2 -4 =0 ……式7
（2k^2 +1) *(X2)^2 +4*k(k+1)X2+2*(k+1)^2 -4 =0 ……式8

将式1带入式8，得：
（2k^2 +1) *(X1 +2)^2 -4*k(k+1)（X1+2）+2*(k+1)^2 -4 =0 ……式9
式9 减去 式7 ，得：
4（k^2 +1) （X1 +1）-8k（k+1）（X1 +1）=0 ……式10
由式10，得：
4（X1 +1）（1-2k-K^2)=0
那么，
X1=-1
或 k=-1-根号2 或 k=-1+根号2 。

如果 X1=-1 ，那么由式1 知：X2=-1 。
那么由式3得：y1= —根号1.5 或 y1=根号1.5
由式4地：y2= —根号1.5 或 y2=根号1.5

因为由式2知道 y1+y2=2 ，那么以上y1 和y2的取值都不能使y1+y2=2 成立。
所以 X1=-1 不成立。

由上面求得 k=-1-根号2 或 k=-1+根号2 ：
将直线方程y=kx +（k+1）带入椭圆方程 x^2/4+y^2/2=1，得：
（2k^2 +1) *(X)^2 +4*k(k+1)X+2*(k+1)^2 -4 =0 ……式11
式11有两个不同的解，那么 （4*k(k+1)）^2 - 4（2k^2 +1)（2*(k+1)^2 -4）>0
将k=-1-根号2 或 k=-1+根号2 带入上述不等式 ，都满足。
所以 k=-1-根号2 或 k=-1+根号2
这样带入方程y=kx+k+1 ，就可以得到直线方程。
直线方程得到了，与椭圆方程x^2/4+y^2/2=1联立，可以求出点A和B 。这样线段AB的长度就知道了。

Answer 2

∵A、B在椭圆上，∴可设A、B的坐标分别是A（2cosa，√2sina），B（2cosb，√2sinb）。
依题意，有：2cosa＋2cosb＝－2，√2sina＋√2sinb＝2，
∴2cos［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］＝－1，√2sin［（a＋b）/2］cos［（a－b）/2］＝1
两式相除，得：（2/√2）cot［（a＋b）/2］＝－1，得：cot［（a＋b）/2］＝－√2/2。
∴AB的斜率k＝（√2sina－√2sinb）/（2cosa－2cosb）
＝2√2sin［（a－b）/2］cos［（a＋b）/2］/｛－4sin［（a＋b）/2］sin［（a－b）］｝
＝（－√2/2）cot［（a＋b）/2］＝（－√2/2）×（－√2/2）＝1/2。
∴AB的方程是：y－1＝k（x＋1），即：y－1＝（x＋1）/2，也即：x－2y＋1＝0。

由2cosa＋2cosb＝－2，√2sina＋√2sinb＝2，
得：cosa＋cosb＝－1，sina＋sinb＝√2，两式平方后相加，得：
2＋2（cosacosb＋sinasinb）＝3，∴cos（a－b）＝1/2，∴a－b＝60°，∴（a－b）/2＝30°
于是：
｜AB｜^2＝（2cosa－2cosb）^2＋（√2sina－√2sinb）^2
＝4｛sin［（a＋b）/2］sin［（a－b）/2］｝^2＋2｛sin［（a－b）/2］cos［（a＋b）/2］｝^2
＝4｛sin［（a＋b）/2］sin30°｝^2＋2｛sin30°cos［（a＋b）/2］｝^2
＝｛sin［（a＋b）/2］｝^2＋（1/2）｛cos［（a＋b）/2］｝^2
＝｛1＋（1/2）cot^2［（a＋b）/2］｝/｛1＋cot^2［（a＋b）/2］｝
＝［1＋（1/2）（1/2）^2］/［1＋（1/2）^2］＝9/10。
∴｜AB｜＝3√10/10。