Question

过点P(-1,1)作直线与椭圆x2\4+y2\2=1交于AB两点,若线段AB中点恰为P点，求AB所在直线方程

Answer 1

显然，AB不可能与y轴平行，否则A、B关于x轴对称，即AB的中点不可能是点P。
令AB的斜率为k，则AB的方程是：y－1＝k（x＋1），即：y＝kx＋k＋1。
∴可设A、B的坐标分别是（m，km＋k＋1）、（n，kn＋k＋1）。

联立：y＝kx＋k＋1、x^2/4＋y^2/2＝1，消去y，得：x^2/4＋（kx＋k＋1）^2/2＝1，
∴x^2＋2［k^2x^2＋2k（k＋1）x＋（k＋1）^2］－4＝0，
∴（1＋2k^2）x^2＋4k（k＋1）x＋2（k＋1）^2－4＝0。

很明显，m、n是方程（1＋2k^2）x^2＋4k（k＋1）x＋2（k＋1）^2－4＝0的两根，
∴由韦达定理，有：m＋n＝－4k（k＋1）/（1＋2k^2），
∴（m＋n）/2＝－2k（k＋1）/（1＋2k^2）。

∵P是AB的中点，∴（m＋n）/2＝－1，∴－2k（k＋1）/（1＋2k^2）＝－1，
∴2k（k＋1）＝1＋2k^2，∴2k^2＋2k＝1＋2k^2，∴k＝1/2。
∴AB的方程是：y＝（1/2）x＋1/2＋1，即：x－2y＋3＝0。