Question

一到高中数学题

已知定点A（-1，0）B（1，0），P是圆（x-3）^2+（y-4）^2=4上的一个动点，利用向量的方法求PA^2+PB^2的最大值和最小值

Answer 1

如果考虑PA，PB是向量，那么可以用平行四边形方法画出一个合成的向量PP‘，而且我们从物理上知道PA^2+PB^2=PP'^2
因为A和B关于原点对称，所以PP’过原点O而且PP‘=2*PO，PP‘^2=4*PO^2
这个问题就转化为求原点到圆上一点的距离问题了,画过原点和圆心的直线，最小值和最大值就在这个直线和圆的两个交点上
PO^2最小值=3^2+4^2-4=21
PO^2最大值=3^2+4^2+4=29
所以PA^2+PB^2最小值是84，最大值是116

Answer 2

P(x,y),
PA = (-1 -x, -y), PB= (1 -x, -y)
PA^2 +PB^2 = [(-1 -x)^2 +(-y)^2] + (1-x)^2 +( -y)^2]
=2x^2 +2Y^2 + 2
=2(x^2 +y^2) +2
如果（x^2 +y^2)取得最值，那么PA^2+PB^2也取得最值。
x^2 +y^2= （x-0)^2 + (y-0)^2 ,即原点到圆上点的距离，
画图后就发现：（x^2 +y^2)的最大值是：7^2=49， 最小值是：3^2=9
所以：所求的最大值是：100，最小值是：20

Answer 3

根据余弦定理PA^2+PB^2=AB^2-2*PA*PB*cos(角APB)=AB^2-PA(向量)×PB（向量)然后把p点坐标用参数方程表示带入向量坐标计算

Answer 4

解：设P（2cos α+3,2sinα+4),则：
向量PA=(-4-2cosα,-4-2sinα),PB=(-2-2cosα,-4-2sinα)
∴PA^2+PB^2=(4+2cosα)^2+(4+2sinα)^2+(2+2cosα)^2+(4+2sinα)^2
=60+32sinα+24cosα
=60+40sin(α+φ) α∈(0,2π)
∴PA^2+PB^2的最大值为100，最小值为20.

Answer 5

（x-3）^2+（y-4）^2=4
设p(2sinx+3,2cosx+4)
PA^2+PB^2=(2sinx+4)^2+(2sinx+2)^2+2(2cosx+4)^2
化简即有
PA^2+PB^2=24sinx+32cosx+60
用一下辅助角公式
PA^2+PB^2=24sinx+32cosx+60
=40sin(x+ψ)+60
最大值是100，最小值是20