Question

一道初中数学

如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE与AB、AG与CD的交点．
（1）试说明四边形AECG是平行四边形；
（2）若矩形的一边AB的长为3cm，当BC的长为多少时，四边形AECG是菱形?

Answer 1

（1）由矩形ABCD可知，角DAC=角BCA
由翻折可知，角DAG=角GAC=角DAC/2，角BCE=角ACE=角BCA/2
所以，角GAC=角ACE
所以，AG平行于CE
又因为CG平行于AE
所以，四边形AECG是平行四边形；
（2）当四边形AECG是菱形时，AE=CE
所以，角ACE=角EAC，
于是，角EAC=角DAG=角GAC=30度
AB=3cm，则BC=根号3cm，
即BC=根号3cm，四边形AECG是菱形。

Answer 2

解：（1）由题意，得∠GAH= 12∠DAC，∠ECF= 12∠BCA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE，
又∵AE∥CG
∴四边形AECG是平行四边形；

（2）∵四边形AECG是菱形，
∴F、H重合，
∴AC=2BC，在Rt△ABC中，设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中AC2=AB2+BC2，
即（2x）2=32+x2，
解得x= 根号3(x=-根号3舍去)，
即线段BC的长为 根号3cm．．