Question

f(x)=lnx-(1/2)ax^2-2x (a<0) (1).若函数f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围

(2).若a=-1/2且关于x的方程f(x)=(-1/2)x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围
第（1）问，我是这样解的:f'(x)=(1-ax^2-2x)/x<=0 因为x>0 所以（1-ax^2-2x)<=0即ax^2+2x-1>=0恒成立
有题目条件a<0 1)
△=4+4a<=0 2) 1) 2)取交集得a<=-1 这样对不对啊？
第二问怎么写？
请大家速度！ 沧海就要变桑田了... -_- lll 需要过程，答案怎么来的？

Answer 1

(1)问你应该解错了，一直到“因为x>0 所以（1-ax^2-2x)<=0”这里是对的，因为a<0，所以1-ax^2-2x抛物线开口是向上的，不会有永远小于0的x的区间，但是因为题目是“存在单调递减区间”，所以需要1-ax^2-2x抛物线有两个根，即有小于0的部分，而那部分范围就是单调递减区间
所以条件：a<0 1) △=4+4a>0 2)； 解为：-1<a<0
(2)问我理解是要求两个f(x)函数在[1,4]内的曲线有两个交点
两个f(x)函数相减得：y(x)=lnx+1/4x^2-3/2x-b
问题转换为y(x)在[1,4]内有两个等于0的点
y'(x)=1/x+1/2x-3/2 ,令为0，解得有两个根x=1,x=2
也就是说y(x)在[1,2]内单调递减，在[2,4]内单调递增,在y(2)有最小值
所以只要满足以下三个条件：
y(1)>=0 1) y(2)<0 2) y(4)>=0 3)
这样不管曲线是怎样的在[1,4]内有且只有两个根
三个不等式解得：
b<=-5/4 1) b>-2+ln2 2) b<=-2+ln4 3)
所以： -2+ln2<b<=-5/4

Answer 2

不对！！
f(x)存在单调递减区间，并不是说求导f'(x)<=0 只能说f'(x)存在<0的区间
求得f'(x)=1/x+(-a)x-2 >=2√-a -2 所以可以判断最小值 2√-a -2 <0 则 -1<a<0

上面的回答很好！

Answer 3

fgbh

Answer 4

10