Question

f(x)=e^ax/a-ln(x+1)+x,存在f(x)单调递减区间,求a的取值范围

Answer 1

首先，我们可以求出 f(x) 的一阶导数：
f'(x) = e^ax - 1/(x+1) + 1
当 f'(x) < 0 时，f(x) 是单调递减的。
将 f'(x) < 0 代入可得：
e^ax < 1/(x+1) - 1
e^ax < -x/(x+1)
ax < ln(-x/(x+1))
a < ln(-x/(x+1))/x
因为 f(x) 在正实数区间单调递减，所以 x > 0。
由于 ln(-x/(x+1)) 在 (0, 1) 上单调递减，因此要使 a < ln(-x/(x+1))/x 成立，需要满足：
a < ln(-1/2)/x
x > ln(-1/2)/a
因为 x > 0，所以 ln(-1/2)/a > 0，即 a < 0。
综上所述，当 a < 0 时，f(x) 存在单调递减区间。