Question

f(x)在R上是不恒为零的偶函数，且对任意x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求f(5/2)=?

答案用的赋值法，取x=-1/2，为什么要选取-1/2呢？

Answer 1

遇到这样的题首先应该想到赋值，或者考虑他的奇偶性，单调性。 显然这个题奇偶性已经告诉你，是考你赋值法，那赋值法就是特殊值法求答案。首先 我看这个题 一上来并没有赋1/2而是赋0 这个是一般思路， 通过赋0 你可以得到f(0)=0, 然后观察上式 有 x 1+x 并且前后很对称，那赋什么数能把他们联系起来呢，这个时候就应该想到-1/2 ，然后根据奇偶性可以得到f(1/2)=0 题上要求f（5/2） 那是不是通过1/2 向上加两次1 就可以得到f（5/2）=0 得证

Answer 2

取X= --0.5 则有 --0.5*f(0.5)=0.5*f( --0.5)

又偶函数 则f(0.5)=f( --0.5)

两式联立 有f(0.5)=0

再取X=0.5 得f(1.5)=0

再取X=1.5 得f(2.5)=0

故f(f(2/5))=f(0)

再取X=0 则有0*f(1)=1*f(0) 得f(0)=0

故f(f(2/5))=0

Answer 3

题目应该是 xf(x+1)=(x+1)f(x)

用到的是 对函数性质的变换

要求f[f(5/2)] ,先求 f(5/2)

第一步 变换等式或带入特殊的值来求解

xf(x+1)=(x+1)f(x)

x取特值0
0f(1)=1 f(0)

===> f(0)=0

当x不等于0时 等式可以变成

f(x+1)=[（x+1）/x] f(x)

那么 f(5/2)=[(5/2）/(3/2)]f(3/2)

=5/3 f(3/2)

继续 f(3/2)=[(3/2)/(1/2)]f(1/2)

=3f(1/2)

继续 f(1/2)=[(1/2)/(-1/2)]f(-1/2)

=-f(-1/2)

f(5/2)=5/ * 3 *-f(-1/2)
====>
f(1/2)=-f(-1/2) …………（1）

第二步 偶函数性质的应用

f(x)=f(-x)

那么 f(1/2)=f(-1/2) ……………（2）

由 （1）（2）式可以得到， f(1/2)=f(-1/2)=0

将结果带入第一步 f(5/2)=0

那么 f[f(5/2)]=f(0)=0

Answer 4

因为等式的两边抛开未知数，格式是一样的，都是一个因式和一个f引导的函数。所以现在要将未知数X考虑进来，也要使两边格式一样，这样就是X+1=1+X, (且要求5/2的值）