Question

已知定义在（0，无穷大）上的函数f(x)满足：

已知定义在（0，无穷大）上的函数f(x)满足：①对于任意的x,y∈（0，正无穷）都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x＞0.求证：（1）f(1)=0;(2)对任意的x∈（0，+∞),有f（1/x)=-f(x);(3)f(x)在（0，+∞）上是增函数。
②当x＞1时，f(x)＞0

Answer 1

已知定义在（0，无穷大）上的函数f(x)满足：
①对于任意的x,y∈（0，正无穷）都有f(xy)=f(x)+f(y);
②当x＞0.
求证：
（1）f(1)=0;
(2)对任意的x∈（0，+∞),有f（1/x)=-f(x);
(3)f(x)在（0，+∞）上是增函数。

题目完整吗？
不严谨！
f(x)≡0就是一个解，它是增函数？

②当x＞0. .... ?

追问

题目打错了，现在看看吧

追答

（1）令x=y=1
f(1)=f(1)+f(1)
所以 f(1）=0

（2）令xy=1
f(xy)=f(x)+f(y)
f(1)=f(x)+f(y)
f(x)+f(y)=0
f(x)+f(1/x)=0
即f（1/x)=-f(x）

(3)

3.1
当x＞1时，f(x)＞0
f(xy)-f(y)=f(x)
f(xy)-f(y)＞0
由于xy＞y，当x＞1时，恒成立，故f(x)为增函数。

（注意：由于y可取（0，+∞）上的任意数，x可取任何大于1的数，故xy、y是任意两个数。）
（由于巳知x＞1时，f(x)＞0；上面巳证f(1）=0；下面只要证明：当0<x<1时，f(x)<0即可。）

3.2
当0<x<1时，1/x＞1，f(1/x）＞0
所以f(x)=-f(1/x）<0
f(y)-f(xy)=-f(x)
f(y)-f(xy)＞0
由于y＞xy，当0<x<1时，恒成立，故f(x)为增函数。

3.3
综上，f(x)在（0，+∞）上是增函数。

....

另一种证法：

对于任意两个数x1、x2，设：
0＜x1＜x2＜+∞
则有x2/x1＞1。

因为当x＞1时，f(x)＞0
所以f(x2/x1)＞0

因为f(xy)=f(x)+f(y)
所以f(x2/x1)=f(x2)+f(1/x1)
又因为f（1/x)=-f(x)
所以
f(x2/x1)=f(x2)-f(x1)＞0
故f(x)在（0，+∞）上是增函数。

Answer 2

（1）令X=Y=1,有f（1）=f（1）+f（1), 得到f（1）=0

Answer 3

（1）令x=y=1就有f(1)=f(1)+f(1)
所以就可以求出f(1）=0
（2）因为1=x*1/x
所以f(1）=f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)
由一知f(1）=0
所以f(x)+f(1/x)=0
即f（1/x)=-f(x）

Answer 4

这个函数的原型是底数大于1的对数函数啊 先把函数符号改成lg 应该很容易搞定3个结论 再把lg改回f就是过程了