Question

三角形ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c,已知A-C=90度，a+c=根号2乘以b，求C

Answer 1

A-C=90度，即A=C+90度
所以sinA=cosC，cosA=-sinC
a+c=根号2乘以b，则：
(a+c)/b=根号2
(sinA+sinC)/sinB=根号2
(cosC+sinC)/sin(A+C)=根号2
(cosC+sinC)/(sinAcosC+cosAsinC)=根号2
(cosC+sinC)/(cos^2C-sin^2C)=根号2
cosC-sinC=√2/2，两边平方得：
1-sin2C=1/2
sin2C=1/2
因为A-C=90度，A+C<180，即90+2C<180，C<45，2C<90
所以2C=30度
C=15度

Answer 2

a+c=√2b.
sinA+sinC=√2sinB（1）
A-C=90
sinA=sin(C+90)=cosC（2）
把（2） 代入（1）
cosC+sinC=√2sinB
√2（sin45°cosC+cos45°sinC）=√2sinB
sin45°=cos45°=√2/2 √2/2 * √2 =1 所以那个等式成立的。

√2（sin45°cosC+cos45°sinC）=√2sinB
sin45°cosC+cos45°sinC=sinB {sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb}
sin(45°+C）=sinB
C+45°=B 或 B+C+45°=180
A-C=90° 所以 A是钝角。 C是锐角
所以 在B+C+45°=180 中 B+C=135° C=45° B=90°、 不符合题意 舍去
A-C=90° A+B+C=180°
这两条解得。B+2C=90°
C+45°=B
解得C=15°

Answer 3

A – C = π/2 => A = C + π/2 => B = π - A - C = π/2 - 2C ，a + c = √2b ，由正弦定理可得 a/sinA = b/sinB = c/sinC => sinA + sinC = √2sinB => sin(C + π/2) + sinC = √2sin(π/2 - 2C) = √2cos2C => cosC + sinC = √2cos2C = √2(cosC)＾2 - √2(sinC)＾2 => cosC – sinC = √2/2 => 1 – 2cosCsinC = 1/2 => sin2C = 1/2 => C = π/12 。

Answer 4

解：由A-C=90°，得A=C+90°，B=π-（A+C）=90°-2C（事实上0°＜C＜45°），
由a+c=b，根据正弦定理有：sinA+sinC=，∴sin（90°-2C），
即cosC+sinC=（cosC+sinC）（cosC-sinC），
∵cosC+sinC≠0，∴cosC-sinC=，C+45°=60°，∴C=15°．

Answer 5

sinA+sinC=√2 sinB
sin(90+C)+sinC=√2 sin(180-C-90-C)
sinC+cosC=√2 cos2C
sin(C+45)=sin(90-2C)
所以C﹢45º＝90º－2C，即C＝15º
或C＋45º＋90º－2C＝180º(舍）
所以C＝15º