Question

f(x)=a*2^x+b*3^x. (1)若ab>0,求函数的单调性 （2）若ab<0,f(x+1)>f(x),求x的解

Answer 1

(1)f'(x)=(aln2)*2^x+(bln3)*3^x，
由于ab>0，分情况讨论，
若a>0,b>0，则f'(x)>0，f为单调增函数；若a<0,b<0，则f'(x)<0，f为单调减函数
(2)f(x)=a*2^x+b*3^x<a*2^{x+1}+b*3^{x+1}=(2a)*2^x+(3b)*3^x=f(x+1)，
则a*2^x+(2b)*3^x>0，
由于ab<0，分情况讨论，
若a>0,b<0，则(3/2)^x<-2a/b，从而x<log_{3/2}(-2a/b)，注意两边同除以b时，不等式换方向
若a<0,b>0，则(3/2)^x>-2a/b，从而x>log_{3/2}(-2a/b)，

追问

第二小问两种情况讨论好以后，要不要写综上所述，把两个范围并起来？

追答

不可以，a怎么可能又大于0，又小于0呢？
如果分类讨论后仍得到相同的结果，这时才可以“合并”，消除分类的叙述。
这就好比(-1)^n当n为奇数时取-1，当n为偶数时取1，但我们不认为(-1)^n=±1

Answer 2

a>0,b>0增；a<0,b<0,减；x<ln(a/-2b)/ln(3/2)

Answer 3

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