Question

高中数学 设二次函数f(X)=aX^2+bX+c(a>0),方程f(X)-X=0的两个根X1,X2满足0<X1<X2<1/a

设二次函数f(X)=aX^2+bX+c(a>0),方程f(X)-X=0的两个根X1,X2满足0<X1<X2<1/a
设函数f(X)的图象关于直线X=X0对称,证明X0<(X1)/2（求详细解答）

Answer 1

f(X)-X=0
即ax^2+(b-1)x+c=0
x1+x2=-(b-1)/a=-b/a+1/a
-b/a=(x1+x2)-1/a
∵0<X1<X2<1/a
∴-b/a<x1+x2-x2=x1
即-b/2a<(x1)/2
设函数f(X)的图象关于直线X=X0对称
则x0=-b/2a
∴x0<(x1)/2

Answer 2

∵方程f(X)-X=0
∴f(X)=X
∴f(X1)=X1，f(X2)=X2
∵f(X)=aX^2+bX+c(a>0)
∴f(X1)=aX1^2+bX1+c，f(X2)=aX2^2+bX2+c，a>0
∵0<x1<x2<1/a
∴如果a>1,则1/a<1,0<x1<x2<1
∴如果a<1,则1/a>1,0<x1<x2<1/a
求方程组①aX1^2+bX1+c=x1
①aX2^2+bX2+c=x2
①a>0
①如果a>1,则1/a<1,0<x1<x2<1
如果a<1,则1/a>1,0<x1<x2<1/a
的解就可以了

提示到这里，接着的自己想吧

Answer 3

x1+x2=2a-2ab,x1*x2=ac,x0=-b/2a,所以证的东西-> ax1+b>0
且x1+x2<2/a,2a-2ab<2/a -> b>1-a^-2
讨论a>1时x1,x2<1,0<ax1<1,1-a^-2<ax1+b<2-a^-2,因为1-a^-2>0所以命题成立
a=1情况很简单，带数字就好了，得证
a<1的情况自己想下就好了的，和a>1差不多的

Answer 4

构造函数g(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
0<x1<x2<1/a x∈(0,x1)
a>0 (x-x1)(x-x2)>0
g(x)>0
要证明f(x)<x1 即证 f(x)-x+x-x1<0
即a(x-x1)(x-x2)+(x-x1)<0
(x-x1)(ax-ax2+1)<0
因为0<x1<x2<1/a x∈(0,x1)
所以(x-x1)(ax-ax2+1)<0成立
x<f(x)<x1