Question

已知函数f(x)=lg(x^2-x+1)/(x^2+1),判断f(x)在（-1，1）上的单调性，并给出证明

Answer 1

设g(x)＝(x^2-x+1)/(x^2+1)＝1－x/(x^2+1)
设x1,x2∈(-1,1)，x1＜x2，g(x1)－g(x2)＝[(x2-x1)(1+x1*x2)]/[(1+x1^2)(1+x2)^2]＞0，所以g(x)单调减少。而y＝lgx是单调增加的，所以复合以后，函数f(x)=lg(x^2-x+1)/(x^2+1)在（-1，1）上单调减少

Answer 2

用什么知识求呀？
题目是不是f(x)=x/（x^2-1）呀？
（1）导数
f'(x)=-(x^2+1)/(x^2-1)^2<0，(-1,1)
所以函数f(x)在(-1,1)单调递减。
（2）高中方法
设 -1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=x1/(x1^2-1)-x2/(x2^2-1)
=(x1x2^2-x1-x2x1^2+x2)/(x1^2-1)(x2^2-1)
=(x1x2+1)(x2-x1)/(x1^2-1)(x2^2-1)
因为-1<x1<x2<1
所以x1*x2+1>0,x2-x1>0,x1^2-1<0,x2^2-1<0
所以f(x1)-f(x2)>0
函数f(x)在（-1,1)上单调递减。