Question

一道初中数学关于截长补短的题高手进。

如图已知三角形ABC为正△，△BDC是顶角BDC=120度的等腰三角形，以D为顶点作一个60度的角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。
（1）探究线段BM、MN、NC之间的数量关系并证明。

（2）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其他条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的数量关系，并证明。

Answer 1

1。MN=BM+CN。
延长AC到E，使CE=BM，连接DE（实际上就是将三角形BDM旋转到CDE）
在三角形BDM和CDE中，可证得
角MBD=DCE=90度，
且BM=CE，BD=CD
所以三角形BDM与CDE全等
所以DM=DE
在三角形DMN和DEN中
可证得角MDN=EDN=60度
且DM=DE，DN=DN
所以三角形DMN与DEN全等
所以MN=NE=EC+CN=BM+CN。
2。MN=CN-BM
在AC上找点E，使CE=BM，连接DE
同上证得三角形BDM与CDE全等，三角形DMN与DEN全等
所以MN=NE=CN-CE=CN-BM。

Answer 2

（1）MN=BM+NC
在MN上取E点，使NE=NC，则三角形DEN全等于三角形DCN,可得三角形DEM全等于三角形DBM
（2）同理

追问

咋全等的我咋不知道呢全等条件是啥啊？？？

Answer 3

(1) BM=MN=NC根据求出它们的角度而知，三角形AMN、三角形MND、三角形ABC都为正三角形，所以就求得BM=MN=NC