Question

证明不等式:a,b,c属于 R,a^4+b^4+c^4大于等于abc(a+b+c)

Answer 1

证明：
【1】
易知，恒有：
(a²-b²)²+(b²-c²)²+(c²-a²)²≧0.
等号仅当a²=b²=c²时取得。
展开，整理可得：
a^4+b^4+c^4≧a²b²+b²c²+c²a².
【2】
由“基本不等式：x²+y²≧2xy"可得：
a²b²+b²c²≧2b²ac.
b²c²+c²a²≧2c²ab.
c²a²+a²b²≧2a²bc.
以上等号仅当a=b=c时取得。
把上面三个不等式相加，整理可得：
a²+b²+c²≧abc(a+b+c).
【3】
综合上面两个不等式，可得：
a^4+b^4+c^4≥abc(a+b+c).

Answer 2

根据均值不等式，(x^2+y^2>=2xy)
2a^4+2b^4+2c^4=((a^2)^2+(b^2)^2)+((c^2)^2+(b^2)^2)+((a^2)^2+(c^2)^2)
>=2(ab)^2+2(bc)^2+2(ca)^2>=2a^bc+2ab^2c+2abc^2=2abc(a+b+c)
左右同除以2可得结论