Question

高二数学曲线方程

已知点A（-1，0），B（1，0）和动点P满足∠APB=2θ,且丨PA丨Χ丨PB丨(1+COS2θ)=2
（1）求动点P的轨迹C的方程
（2）过点A的直线L交曲线C于E，F两点，若ΔBEF的面积等于4/3，求直线L的方程

Answer 1

1)COS2θ=COS∠APB=(丨PA丨^2+丨PB丨^2-丨AB丨^2)/(2丨PA丨Χ丨PB丨);
丨PA丨Χ丨PB丨(1+COS2θ)=(丨PA丨^2+丨PB丨^2-4+2丨PA丨Χ丨PB丨)/2=2;
丨PA丨^2+丨PB丨^2+2丨PA丨Χ丨PB丨=8;(丨PA丨+丨PB丨)=2*2^(1/2);
所以动点P的轨迹C为以A,B为焦点的椭圆，a=2^(1/2);c=1;b=(a^2-c^2)^(1/2)=1;
轨迹C的方程为x^2/2+y^2=1;
2)设L的方程为x+1-ky=0，则x=ky-1，代入上式得：（ky-1）^2+2y^2-2=0
y1+y2=2k/(2+k^2)；y1y2=-k/(2+k^2)；
|y1-y2|=(（y1+y2）^2-4y1y2)^(1/2)=(8k^2+8)^(1/2)/(2+k^2)=4/3;
两边平方，得（8k^2+8）/(k^4+4k^2+4)=16/9;
解得k^2=1或k^2=-1/2(舍去)
所以k=1或-1，L的方程为x+1-y=0或x+1+y=0