Question

计算三重积分∫∫∫xdxdydz，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域

Answer 1

解：原式=∫<0,1>xdx∫<0,(1-x)/2>dy∫<0,1-x-2y>dz
=∫<0,1>xdx∫<0,(1-x)/2>(1-x-2y)dy
=∫<者吵0,1>x[(1-x)²/4]dx
=1/4∫<0,1>(x-2x²+x³)dx
=(1/2-2/3+1/4)/首族侍4
=1/48。穗轮

Answer 2

用先2后1的方法：∫厅前模∫∫xdxdydz=∫[0->1] xdx ∫∫(Dx) dydz Dx为平行扮缓于悔枣yOz的平面截Ω的部分
=∫[0->1] xdx ∫∫(Dx) dydz =∫[0->1] x(1-x)²/4dx =∫[0->1] x³/4-x²/2+x/4dx=1/48