Question

设α、β是某一元二次方程的两个实根,且满足α ² +β² =13,(1-α)(1-β)=2，求这个一元二次方程

Answer 1

α^2+β^2
=α^2+2αβ+β^2-2αβ
=(α+β)^2-2αβ
=13

(1-α)(1-β)
=1-α-β+αβ
=-(α+β)+αβ+1
=2
设m=α+β,n=αβ，根据韦达定理，这个一元二次方程就是x^2-mx+n=0。下面就把m,n解出来
方程组：m^2-2n=13,-m+n=1
由第二个式子，n=m+1，代入第一个式子得
m^2-2(m+1)=13,m^2-2m-2=13,(m-1)^2=16,m=-3或m=5,n=m+1=-2或6
所以，这个方程就是x^2+3x-2=0或x^2-5x+6=0。
又因为第一个方程中判别式=3^2-4*1*(-2)=17>0，而第二个方程的判别式=5^2-4*1*6=1>0
所以，两个方程都可以成立

Answer 2

令 α+β = u, αβ = v

则α ² +β² = (α+β)² -2αβ = u²-2v = 13
(1-α)(1-β)=1-(α+β)+αβ = 1-u+v = 2
这样得到一个关于u，v的二元方程，可解得
u=5,v=6 或 u= -3,v= -2
所以这个一元二次方程为
x²-5x+6=0
或 x²+3x-2=0

Answer 3

因为(1-α)(1-β)=2,即：1-（α+β）+αβ=2，所以α+β=αβ-1①。 于是有：α²+β²=（α+β）²-2αβ=（αβ-1）²-2αβ=（αβ）²-2αβ+1-2αβ=（αβ）²-4αβ+1=13。所以（αβ）²-4αβ-12=0，解之得：αβ=6或αβ=-2.分别代入①式，可得α+β=5,或α+β=-3，于是得α+β=5，αβ=6；α+β=-3，αβ=-2。所以这个一元二次方程是：x²-5x+6=0或x²+3x-2=0.

Answer 4

1,-5,6
1,3，-2

Answer 5

联系α +β，αβ