Question

四边形ABCD中，AB=CD,M,N分别是AD,BC的中点，MN的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q，求证：∠1=∠2

Answer 1

连接AC，取AC的中点E，连接ME，NE。
因为N，E分别是BC，AC的中点，所以，NE平行AB，且NE=1/2AB，
所以，角ENM=角BPN。（平行线的内错角相等）
因为M，E分别是AD，AC的中点，所以，ME平行CD，且ME=1/2CD，
所以，角EMN=角CQN（平行线的同位角相等）
因为AB=CD，所以，NE=ME，所以，角ENM=角EMN，
所以，角BPN=角CQN（即：∠1=∠2）。

Answer 2

连结AC，取其中点K，注意到AB与CD不平行，故K不在MN上，连结MK、NK。下面的证明希望你自己可以写出，不难的。其实我们在遇到不共线的等边的时候，往往可以考虑经过一定的手续（必要时进行一定的放缩）把它们转移到同一个三角形中进行讨论，在这个时候如果有中点或等比分点等条件，那么中位线或平行线就是常用的辅助线了
延长QN到F，使NF=PN，连接CF
∵BN=CN，∠BNP=∠CNF
∴⊿BNP≌⊿CNF（SAS）
∴BP=CF，∠BPN=∠F
在M的下方截取ME=MP，连接DE
∵AM=DM，∠PMA =∠EMD
∴⊿AMP ≌⊿DME(SAS )
∴AP=DE,∠APM=∠DEM
∴∠DEM=∠F
∴DE//CF
在CF上截取FG=DE，连接DG
则四边形DEFG为平行四边形
∴DG//QF
∵CF-FG=BP-AP，即CG=AB
∵AB=CD
∴CG=CD
∴∠CDG=∠CGD
∵∠DQM=∠CDG
∠APM=∠F=∠CGD
∴∠APM=∠DQM

Answer 3

能画个图吗？没有图不知道哪个是∠1哪个是∠2