Question

高中数学正、余弦定理

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a^2+c^2-b^2=1/2ac,
(1)求[sin^2(A+C)/2]+[COS2B]的值
（2）若b=2,求△ABC面积的最大值

Answer 1

(1)∵a²+c²-b²=½ac∴CosB=（a²﹢c²-b²﹚／2ac＝½ac／2ac＝¼
∴Sin²﹙A+C)/2+Cos2B=Sin²B／2+Cos2B=(1-Cos2B)/4+Cos2B=¼+¾Cos2B
∵Cos2B=2Cos²B-1=2×﹙¼﹚²-1=-7/8
(2)b²=a²+c²﹣2acCosB=a²﹢c²﹣½ac∴4=a²﹢c²﹣½ac≥2ac-½ac＝3/2ac
∴ac≤8/3又SinB=√(15/16)=(√15)/4∴SΔABC=½acSinB=½ac×﹙√15/4﹚≤½×8/3x(√15)/4
=(√15)/3∴ΔABC面积的最大值为（√15）/3

Answer 2

sinA/a=sinB/b=sinC/c
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2bc