Question

如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边做两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交

如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边做两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交与A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为√5/5，√10/10
(1)求α+β；（2）求tan（α-β）的值

Answer 1

解：由题意知单位圆半径为1，又α,β与此圆交点为点A.B，且其纵坐标分别为√5/5，√10/10
那么由勾股定理易得点A,B的横坐标分别为2√5/5，3√10/10
所以由任意角三角函数的定义可得：
tanα=(√5/5)/(2√5/5)=1/2,tanβ=(√10/10)/(3√10/10)=1/3
则：tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanα*tanβ)
=(1/2+1/3)/(1-1/6)=1 （*）
tan(α-β)=(tanα-+tanβ)(1+tanα*tanβ)
=(1/2-1/3)/(1+1/6)=1/7
又锐角α,β有:0<tanα<1,0<tanβ<1
则0<α<π/4,0<β<π/4
即：0<α+β<π/2
所以由（*）式可得α+β=π/4