Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=1，AA1=AB=2 E为AB中点 求二面角A-D1E-C的大小

Answer 1

有两种方法，一种是通过普通的求角方式，一种是通过空间向量。通过空间向量的做法就是把各个点都用坐标表示出来，然后设一个向量就可以了，具体的你可以看书上的例题，很简单的。但我不推荐用这种方法去做，因为这种方法比较容易算错。
另一种方法就是通过找角来求。这道题就可以通过找二面角的补角来求。解法如下
连接CE并延长，取AA1中点G连接D1G并延长，交CE于F，可证，DAF在D、A、F 三点共线，并且A是线段DF的中点，取EF中点M连接GM、AM
连接DE，因为AB=2、BC=1、E是AB中点，所以AE=EB=BC=DA=1所以角DEA=角CEB=45°，所以DE垂直于CE，又因为DD1垂直于CE，DD1与DE相交于点D，所以CE垂直于平面DD1E，所以平面DD1E垂直于平面CD1F，做DM垂直于D1E，交D1E于P，所以DP垂直于平面CD1F。
因为，AG平行与DD1，AM平行与DE，且DD1与DE，GA与AM相交，所以，平面GAM 平行于平面D1DE，做AT垂直于GM交GM于T，平面GAM交平面D1FC于GM,平面GAM垂直于平面D1FC，所以AT垂直于平面D1FC
做AQ垂直于D1E交D1E于Q，连接TQ，则角AQT即为二面角A-D1E-C的补角。
通过求边便可求出AP=√30/6,AT=√3/3,所以sin角AQT=根号10/5，cos角AQT=根号5/5，所以二面角A-D1E-C的大小为π-acrcos√5/5.
以上只是简要过程，有一些具体细节我并未一一列出，如有未明之处，可追问。

追问

谢谢 π-arccos√5/5还可以继续简化吗？

追答

这个不用再简化了，因为我们不需要知道由√5/5,√10/5和√15/5构成的直角三角形的具体角。在高考里这样写就可以了。但尽量不要写成sin√10/5，如果用这个表示的话，还要另行注明角的范围。