Question

已知P是抛物线 y^2=2x上的一个动点，过P作圆(x-3)^2+y^2=1 的切线，切点分别为M、N，

则/MN/ 的最小值是__________ 需说明详细过程

Answer 1

解：
可设点P(2a²,2a).
易知，圆C：(x-3)²+y²=1的圆心C(3,0),半径r=1.
设PC与MN交于点H,
易知，⊿MCH∽⊿PCM
∴MH∶PM=MC∶PC
∴MH=PM/PC
又PM²=PC²-1
∴MN=2√[1-(1/PC²)]
∴问题可化为求PC²的最小值。
易知PC²=(2a²-3)²+(2a)²
=4(a²-1)²+5≧5.
等号仅当a²=1时取得，
∴PC²min=5
∴MNmax=2√[1-(1/5)]=(4√5)/5

Answer 2

解：
设抛物线y^2=2x上的动点为P(a、b），则b^2=2a
圆（x-3)^2+y^2=1 ,圆心为C(3,0) ,半径为r=1
连接PC交MN于点E
将圆的方程变为：x^2+y^2-6x+8=0
则点P到圆C的切线长为
|PM|=|PN|
=√(a^2+b^2-6a+8)
=√(a^2+2a-6a+8)
=√(a^2-4a+8)
|PC|^2=|pm|^2+|CM|^2=a^2-4a+8+1=a^2-4a+9
由平面射影定理知:
|CM|^2=|PC|×|CE|
即1^2=[ √(a^2-4a+9)]×|CE|
∴|CE|^2=1/(a^2-4a+9)
|ME|^2=|CM|^2-|CE|^2=1-1/( a^2-4a+9) (a≥0)
∵a^2-4a+9=(a-2)^2+5≥5
∴|ME|^2 ≥4/5
∴|ME|≥2/√5
|MN|=2|ME|≥(4√5)/5
|MN|的最小值是（4√5）/5

Answer 3

当P到圆心的距离最小时，MN为最小值。