Question

四边形ABCD中,M、N是对角线AC、BD的中点，又AD、BC相交于点P。求证：PMN的面积等于ABCD四分之一

很急，今天务必完成，谢谢了

Answer 1

证明：
设E，F分别边AB，CD的中点，连ME，MF，NE，NF。
则ME‖BC，MF‖AD，NE‖AD，NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4 (1)
同理可得：S(PFM)=S(ACD)/4 (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2 (3)

所以只需证明:
S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2 (4)
延长EM，NF分别交AP于G，H，
平行四边形ENHG的底EN=AD/2，
EN上高(即EN与AB的距离)等于三角形ABD的边AB上的高的一半，
所以：
S(ENHG)=S(ABD)/2

同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2

故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2
所以(4)式成立，
将(4)式代入(3)式即得所得结论。

Answer 2

证明：
设E，F分别边AB，CD的中点，连ME，MF，NE，NF。
则ME‖BC，MF‖AD，NE‖AD，NF‖BC，
所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF‖BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4 (1)
同理可得：S(PFM)=S(ACD)/4 (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)
=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2 (3)
所以只需证明:
S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2 (4)
延长EM，NF分别交AP于G，H，
平行四边形ENHG的底EN=AD/2，
EN上高(即EN与AB的距离)等于三角形ABD的边AB上的高的一半，
所以：
S(ENHG)=S(ABD)/2
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2
所以(4)式成立，
将(4)式代入(3)式即得所得结论。

Answer 3

我不会啊 - -